设A为m×n矩阵,证明AX=Em有解的充要条件是R(A)=m~
证明: 必要性:
因为AX=Em有解
所以Em的列向量组可由A的列向量组线性表示
所以 m = r(Em) = Em的列秩 <= A的列秩 = r(A)
即 r(A) >= m
而 A 只有m行, 所以 r(A)<=m
故 r(A)=m.
充分性:
因为 r(A)=m
所以A的列秩 = m
所以任一m维列向量都可由A的列向量组线性表示
特别地有: Em的列向量都可由A的列向量组线性表示
故存在矩阵X, 满足 Em = AX.
即 AX=Em 有解 #
证明：
（必要性）设A与B等价，则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵，而
初等变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（B）。
（充分性）设R（A）=R（B），则A、B的标准型都为Er ，即A、B都与Er 等价，从而A与B等价。
扩展资料：
矩阵等价的性质
1、矩阵A和A等价(反身性）；
2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；
4、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解
对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：
（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。
参考资料来源：百度百科-等价矩阵
充分性：
因为，A是m*n矩阵A，且R(A)=m （根据已知条件）
所以，A中存在m个n维行向量线性无关 （根据定理：矩阵A的秩等于r的充要条件是A中存在r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量线性相关）
设α为A的行向量，
假设，R(A)<m，即存在αi=k1α1+k2α2++……+kmαm
取i=m，则
αm=k1α1+k2α2++……+k(m-1)α(m-1) （）
因此，用-k1、-k2、……、-k(m-1)分别乘以A的第一行、……、第m-1行，再加到m行上去，就使得第m行中所有的元素都为0
则，R(A)=m-1
这与已知条件矛盾
所以，不存在第i行中的元素经过初等变换之后为0
所以，|A|≠0
所以，A为可逆阵
所以，存在矩阵B，使得，AB=E
因为，A是m*n矩阵
所以，他的逆矩阵B为n*m矩阵
所以，存在n*m矩阵B，使AB=E
必要性：
因为，A是m*n矩阵，且，存在n*m矩阵B，使AB=E
所以，|A|≠0
所以，不存在第i行中的元素经过初等变换之后为0
即，矩阵A中不为0的式子的最高阶数为m
所以， R(A)=m （根据秩的定义）
证毕
楼主应该说明m≤n吧，否则，
根据定理：任意m（m>n）个n维向量线性相关，即R(A)<m
充分性：
因为，R(A)=m
存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=【Em，0】
设D=【Em，0】^T,
则PAQD=Em,即AQDP=Em,
令B=QDP 即可得：AB=Em。
充分性得证。
必要性
已知：存在n*m矩阵B，使AB=E
不妨假设：对于A，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=C=
【Er，0】
【0， 0】
即R（A）＜m
A=P^(-1)CQ^(-1)
AB=P^(-1)CQ^(-1)B=E
CQ^(-1)BP^(-1)=E
因为C的后m-r行全为零，矛盾，所以R（A）=m。
必要性得证。
A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明命题需要A是实矩阵才成立证明:(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0所以X1是A^TAX=0的解.故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.(2)设X2是A^TAX=0的解, 则A^TAX2=0等式两边左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量,
设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E因为，A是m*n矩阵 所以，他的逆矩阵B为n*m矩阵 所以，存在n*m矩阵B，使AB=E 必要性：因为，A是m*n矩阵，且，存在n*m矩阵B，使AB=E 所以，|A|≠0 所以，不存在第i行中的元素经过初等变换之后为0 即，矩阵A中不为0的式子的最高阶数为m 所以， R(A)=m （根据秩的定义）证毕 ...
设A是一次m*n矩阵,证明:R(A)=r的充分必要条件是存在秩为r的m*r矩阵B...R(A)=r等价于存在可逆阵P,Q使得A=PDQ，其中 D= I_r 0 0 0 由此可以构造出A=BC (注意，不是AB=C)充分性：考虑B和C里面的满秩rxr子阵即可
设A是m*n实矩阵,若r(ATA)=5,则r(A)=因为r(A^TA)=r(A)，所以r（A）=5 r(A)=5因为r(ATA)=r(A)证明如下：若ATAx=0则xTATAx=0则(Ax)TAx=0就是说Ax这个向量的内积是0从而这个向量是0即Ax=0 这说明r(A)=r(ATA)综合上述两方面 R(ATA)=R(A)
设A为m乘以n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y因为 AX=AY 所以 A(X-Y) = 0 所以 X-Y 的列向量都是 齐次线性方程组 Ax = 0 的解 又因为 r(A) = n 所以 齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 所以X-Y 的列向量都是0向量 所以 X-Y = 0 所以 X = Y
...设A为m*n矩阵,若r(A)=n(m>n),则存在n*m矩阵B,使BA=En因为 r（A）=n（m＞n）,所以 对A进行初等行变换 可把A化成 En O 分块矩阵,记为 [ E; O]所以存在m阶可逆矩阵 P,使 PA = [ En; O] (注意是上下两块)把P分块为 [ P1; P2] (也是上下两块),其中P1 是 n行m列,P2是 (m-n)行m列 则有 [ P1; P2] A = [ P1A; P2A] =...
A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明命题需要A是实矩阵才成立 证明:(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0 所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0 所以X1是A^TAX=0的解.故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.(2)设X2是A^TAX=0的解, 则A^TAX2=0 等式两边左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0 所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0 所以 AX2=0. ...
已知A是m*n的实矩阵,证明r(ATA)=r(A) AT是矩阵A的转置其次证明（2）的解也是（1）的 设x1是（2）的解,则AT A x1=0 进一步有：x1T AT A x1=0 即(Ax1)T (Ax1)=0 假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T 则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0 那么只有a1=a2=...=an=0 也就是Ax1=0 至此说明了(2)的解也是(1)的解.于是R(A)...
设A为m×n实矩阵,证明r(A^T A)=r(A)同解即可：显然(1)的解是(2)的解。设X0是(2)的解, 则 A^TAX0=0。所以 X0^T A^TAX0=0。所以 (AX0)^T(AX0)=0。所以 AX0 = 0。即有(2)的解也是(1)的解。故两个方程组同解进而基础解系含相同的个数的解向量。即 n-r(A) = n-r(A^TA)。所以r(A^T A)=r(A)。
设A为m×n矩阵,证明AX=Em有解的充要条件是R(A)=m做矩阵的列分块，令 X＝（x1，x2，…，xm）Em＝（e1，e2，…，em）则AX＝Em转化为 A（x1，x2，…，xm）＝（e1，e2，…，em）所以问题等价于线性方程组 Ax1＝e1，Ax2＝e2，…，Axm＝em 有解的充要条件。而这每个线性方程组有解的充要条件就是 R（A）＝m。