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简单分析一下，详情如图所示
命题需要A是实矩阵才成立
证明:
(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0
所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0
所以X1是A^TAX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.
(2)设X2是A^TAX=0的解, 则A^TAX2=0
等式两边左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0
所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0
所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A^TAX=0的解是AX=0的解.
综上知齐次线性方程组AX=0与A^TAX=O是同解方程组.
所以它们的基础解系所含向量的个数相同
故有 r(A) = r(A^TA)
证明r(A)=r(A' A) A是m×n阶矩阵这个还有条件是在实数域中，而在复数域中并不成立。首先显然rank(A)>=rank(AA')我们考虑A'AX=0,左乘X'得 X'A'AX=0 即 (AX)'AX=0 因此AX=0，也就是说A'AX=0的解都是AX=0的解。因此 n-rank(A'A)<=n-rankA 综上 rankA=rank(A'A)其他的不好证,就用那个!
A是m*n矩阵,r(A)=r<min{m,n},则A中必()r(A)=K 等价于 A存在K阶不为0的子式，所有的K+1阶子式都为0。B是对的 C的前半句不一定。a
证明:矩阵方程AX=B有解r(A)=r[A|B],其中A为m*n矩阵B为m*p矩阵 如题若方程AX = B有解,则B的各列向量均可由A的列向量线性表出 (X的对应列为组合系数).于是[A|B]的列向量均可由A的列向量线性表出,得r([A|B]) ≤ r(A).又显然r(A) ≤ r([A|B]),故r(A) = r([A|B]).反之,若r(A) = r([A|B]).对B的任意一个列向量b,考虑线性方程组Ax...
设A为m*n矩阵,且r(A)=r<n求证存在秩为n-r的n*(n-r)矩阵B,使得AB=O设未知量X为一个n*1的矩阵，即n个元素的列向量。看方程AX=0，由于像空间A(R^n)的维数是n，而r(A)=r<n，所以AX=0的解空间是(n-r)维的，从中找一组基（由(n-r)个列向量组成），以它们为列向量组成的矩阵B即符合题意。
设A是m*n矩阵,x是n维向量,b是m维向量,且R(A)=r,为什么当r=m时,Ax...为什么当r=m时，Ax=b才有解？不能这样说 只能说: 当r=m时，Ax=b有解.因为此时 m=r(A)<=r(A,b)<=m 所以 r(A)=r(A,b)所以方程组有解
设A,B都是m×n矩阵,证明A,B等价的充要条件是r(A)=r(B)证明:必要性: 因为A,B等价, 即A可经初等变换化为B, 而初等变换不改变矩阵的秩, 所以r(A) = r(B).充分性: 由r(A)=r(B) 知 A与B有相同的等价标准形 (即左上角是r阶单位矩阵), 即A,B都与同一个标准形等价. 由等价关系的传递性知A与B等价 满意请采纳 ^-^.
设A为m*n矩阵,且r(A)=r<n.求证存在秩为n-r的n*(n-r)矩阵B,使得AB=O...A为m*n矩阵,且r(A)=r<n，则A一定能够通过初等列变换变成这样的m*n矩阵K 1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ...0 0 0 ... 0 就是一个m*n的矩阵，左上角有个r*r的单位阵。其他都是0 我们知道，做一次初等列变换，就是右乘一个n*n可逆阵。于是，做了很多次列...
设A、B为m×n矩阵,证明A与B等价的充要条件为R(A)=R(B)证明：（必要性）设A与B等价，则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（B）。（充分性）设R（A）=R（B），则A、B的标准型都为Er ，即A、B都与Er 等价，从而A与B等价。
最简行阶梯形矩阵化简技巧介绍如下?谢谢最简行阶梯形矩阵化简技巧介绍如下：用初等变换化矩阵为行最简形，主要是按照次序进行，先化为行阶梯形，再化为行最简形。其中化成下三角的技巧主要就是“从左至右，从下至上”，找看起来最容易一整行都化为0或者尽可能都化为0的一行（一般是最下面一行），将其放至最后一行，然后通过初等变换将这...
证明:矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A). 一个...设 A是 m×n 的矩阵.可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解,好理解.2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0 故两个方程是同解的.同理可得 r(AA')=r(A')另外 有 r(A)=r(A')所以综上 r(A)=...