设A是一次m*n矩阵,证明:R(A)=r的充分必要条件是存在秩为r的m*r矩阵B和秩为r的r*n阶矩阵C, 使AB=C~
必要性：
R(A)=r等价于存在可逆阵P,Q使得A=PDQ，其中
D=
I_r
0
0
0
由此可以构造出A=BC
(注意，不是AB=C)
充分性：
考虑B和C里面的满秩rxr子阵即可
提示：可逆矩阵可以看成若干初等矩阵的乘积。用等价矩阵秩相等去证。
必要性：
R(A)=r等价于存在可逆阵P,Q使得A=PDQ，其中
D=
I_r 0
0 0
由此可以构造出A=BC (注意，不是AB=C)
充分性：
考虑B和C里面的满秩rxr子阵即可
设A是一次m*n矩阵,证明:R(A)=r的充分必要条件是存在秩为r的m*r矩阵B...R(A)=r等价于存在可逆阵P,Q使得A=PDQ，其中 D= I_r 0 0 0 由此可以构造出A=BC (注意，不是AB=C)充分性：考虑B和C里面的满秩rxr子阵即可
设A是m*n实矩阵,证明:R(A'A)=R(AA')=R(A)?所以 r(A)=r(A'A)=r(AA').,9,把A分解成一个可逆的m*m的方阵和一个m*n的分块 其中分块为｛E_r 0，0，0｝，r是A的秩 然后利用矩阵分块的乘法容易证明结论了,1,设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)A'是A的转置矩阵 ...
A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明命题需要A是实矩阵才成立证明:(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0所以X1是A^TAX=0的解.故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.(2)设X2是A^TAX=0的解, 则A^TAX2=0等式两边左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0所以 AX2=0. [长度为0的...
设A为m×n实矩阵,证明r(A^T A)=r(A)设X0是(2)的解, 则 A^TAX0=0。所以 X0^T A^TAX0=0。所以 (AX0)^T(AX0)=0。所以 AX0 = 0。即有(2)的解也是(1)的解。故两个方程组同解进而基础解系含相同的个数的解向量。即 n-r(A) = n-r(A^TA)。所以r(A^T A)=r(A)。
设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E因为，A是m*n矩阵 所以，他的逆矩阵B为n*m矩阵 所以，存在n*m矩阵B，使AB=E 必要性：因为，A是m*n矩阵，且，存在n*m矩阵B，使AB=E 所以，|A|≠0 所以，不存在第i行中的元素经过初等变换之后为0 即，矩阵A中不为0的式子的最高阶数为m 所以， R(A)=m （根据秩的定义）证毕 ...
已知A是m*n的实矩阵,证明r(ATA)=r(A) AT是矩阵A的转置其次证明（2）的解也是（1）的 设x1是（2）的解,则AT A x1=0 进一步有：x1T AT A x1=0 即(Ax1)T (Ax1)=0 假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T 则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0 那么只有a1=a2=...=an=0 也就是Ax1=0 至此说明了(2)的解也是(1)的解.于是R(A)...
设A为m乘以n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y因为 AX=AY 所以 A(X-Y) = 0 所以 X-Y 的列向量都是 齐次线性方程组 Ax = 0 的解 又因为 r(A) = n 所以 齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 所以X-Y 的列向量都是0向量 所以 X-Y = 0 所以 X = Y
设A是一个m×n矩阵,r(A)=r…从A中任意划去m-s行与n-t列,其余元素按原来...证明：利用r(X+Y) = r(X) - r(Y)不要把划去部分扔掉,而改用0填充,这样得到的mxn矩阵记为B,那么r(B)=r(C),只要看r(B)就行了，如果先把划去的m-s行置成零,相当于A1 = A - U,U在划去的m-s行上与A相等,余下部分为0,所以r(U)= r-(m-s)-(n-t)
A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明命题需要A是实矩阵才成立 证明:(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0 所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0 所以X1是A^TAX=0的解.故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.(2)设X2是A^TAX=0的解, 则A^TAX2=0 等式两边左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0 所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0 所以 AX2=0. ...
矩阵A是m*n阵,r(A)=r.证明:存在Bm*s和Cs*n,使A=BC,r(B)=r(C)=r.因为r(A)=r 所以 存在 可逆矩阵P,Q满足 P 乘 Er 0 0 0 乘 Q 令 B = P 乘 Er 0 C = Er 0 乘Q 则A=BC,r(B)=r(C)=r.