设A为m×n实矩阵，证明r(A^T A)=r(A)~
证明齐次线性方程组 AX=0 (1)与 A^TAX=0 (2)同解即可：
显然(1)的解是(2)的解。
设X0是(2)的解, 则 A^TAX0=0。
所以 X0^T A^TAX0=0。
所以 (AX0)^T(AX0)=0。
所以 AX0 = 0。
即有(2)的解也是(1)的解。
故两个方程组同解进而基础解系含相同的个数的解向量。
即 n-r(A) = n-r(A^TA)。
所以r(A^T A)=r(A)。
扩展资料：
矩阵的秩
引理，设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
定理，矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理，初等变换不改变矩阵的秩。
定理，矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
方法:
证明齐次线性方程组 AX=0 (1)与 A^TAX=0 (2)同解即可
显然(1)的解是(2)的解
设X0是(2)的解,则 A^TAX0=0
所以 X0^T A^TAX0=0
所以 (AX0)^T(AX0)=0
所以 AX0 = 0
即有(2)的解也是(1)的解
故两个方程组同解进而基础解系含相同的个数的解向量
即 n-r(A) = n-r(A^TA)
所以 .
命题需要A是实矩阵才成立
证明:
(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0
所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0
所以X1是A^TAX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.
(2)设X2是A^TAX=0的解, 则A^TAX2=0
等式两边左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0
所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0
所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A^TAX=0的解是AX=0的解.
综上知齐次线性方程组AX=0与A^TAX=O是同解方程组.
所以它们的基础解系所含向量的个数相同
故有 r(A) = r(A^TA)
要证明r（A）=r〔A∧T）A〕只需证明齐次方程AX=0与（A∧T）AX=0同解即可
AX=0，那么在其等式两边左乘A∧T得到（A∧T）AX=0。
（A∧T）AX=0，两边左乘X∧T得（X∧T）（A∧T）AX=0，即〔（AX）∧T〕（AX）=0这表示向量AX与自身的内积为0，当且仅当AX=0.
从而结论得证
A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明此时用到A是实矩阵]所以X2是AX=0的解.故A^TAX=0的解是AX=0的解.综上知齐次线性方程组AX=0与A^TAX=O是同解方程组.所以它们的基础解系所含向量的个数相同故有 r(A) = r(A^TA)
矩阵A是m*n阵,r(A)=r.证明:存在Bm*s和Cs*n,使A=BC,r(B)=r(C)=r.因为r(A)=r 所以 存在 可逆矩阵P,Q满足 P 乘 Er 0 0 0 乘 Q 令 B = P 乘 Er 0 C = Er 0 乘Q 则A=BC,r(B)=r(C)=r.
设A是一次m*n矩阵,证明:R(A)=r的充分必要条件是存在秩为r的m*r矩阵B...R(A)=r等价于存在可逆阵P,Q使得A=PDQ，其中 D= I_r 0 0 0 由此可以构造出A=BC (注意，不是AB=C)充分性：考虑B和C里面的满秩rxr子阵即可
A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明故有 r(A) = r(A^TA)要证明r（A）=r〔A∧T）A〕只需证明齐次方程AX=0与（A∧T）AX=0同解即可AX=0，那么在其等式两边左乘A∧T得到（A∧T）AX=0。（A∧T）AX=0，两边左乘X∧T得（X∧T）（A∧T）AX=0，即〔（AX）∧T〕（AX）=0这表示向量AX与自身的内积为0，当且仅当AX...
一个线性代数问题 A为m* n 矩阵 为什么r(A)=r(A^T *A)?额，考研过了几个月了，这个还是有点印象的，不容易啊。。。用齐次方程的解来做 假设AX=0(X为n*1的非零列向量)，则有A^T*AX=0 又若A^T*AX=0，则X^TA^T*AX=0，即(AX)^T*AX=0所以AX=0 所以AX=0与A^T*AX=0的解空间相同，即n-r(A)=n-r(A^T*A)所以r(A)=r(A^T*A)...
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A是m*n矩阵,r(A)=r,B是m阶可逆矩阵,C是m阶不可逆矩阵,且r(c)<r,下面...B 正确 由B可逆知 r(BA)=r(A) = r 所以 BAX=0的基础解系由 n-r(BA) = n-r 个向量组成 答案
满秩阵怎么求基础解系Ax=0,A为m*n矩阵，R(A)=r，若A满秩，则r=m或n。若m>=n,则Ax=0仅有零解；若m<n，将A化为行阶梯型直至行最简型，可得基础解系
设A、B为m×n矩阵,证明A与B等价的充要条件为R(A)=R(B).?ErO OO等价，从而A与B等价．,1,A与B相抵，意味着二者有相同的相抵标准型，故r(A) = r(B)；反过来秩相等的矩阵相抵标准型也相同，记为Ir, 则 Ir = P1 * A * Q1 = P2 * B * Q2，故有 A = inv( P1 ) * P2 * B * Q2 * inv( P1 ) = P * B * A，其中P1, P2, Q1, ...