设A为m*n矩阵，且R(A)=r<n,求证：存在秩为n-r的n*(n-r)矩阵B,使AB=O~
取Ax=0的基础解析。
a1,a2,...,a(n-r)
记B=（a1,a2,...,a(n-r)）
那么矩阵B是秩为n-r的n*(n-r)矩阵
且AB=0
设未知量X为一个n*1的矩阵，即n个元素的列向量。
看方程AX=0，由于像空间A(R^n)的维数是n，而r(A)=r<n，所以AX=0的解空间是(n-r)维的，从中找一组基（由(n-r)个列向量组成），以它们为列向量组成的矩阵B即符合题意。
A为m*n矩阵,且r(A)=r<n，则A一定能够通过初等列变换变成这样的m*n矩阵K
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 0
就是一个m*n的矩阵，左上角有个r*r的单位阵。其他都是0
我们知道，做一次初等列变换，就是右乘一个n*n可逆阵。于是，做了很多次列变换，把这些可逆阵乘在一起，记为P，那么就是AP=K
然后构造一个n*(n-r)的矩阵L如下：
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
...
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
这个L就是一个n*(n-r)矩阵，下面有一个（n-r）*（n-r）的单位阵，上面都是0。
可以看到：K*L=0
也就是APL=0，那么所求的B就是PL.
因此一定存在这样的矩阵B,使得AB=O
设矩阵A是m*n型,且R(A)=r,下列提法正确的是正确. 这是个定理.B.AX=O时，X为n*(n-r)型矩阵，则R(X)<=n-r 正确. AX=0时, X的列向量都是Ax=0的解, 所以可由Ax=0的基础解系线性表示.C.β为m维向量，R(A,β)=r,则β可由A的列向量线性表示 正确. R(A,β)=r<=>AX = β有解 <=> β可由A的列向量线性表示.D.非齐次线性方程组AX=b有解，则R(A,b)=r 正确. 非齐次...
A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明命题需要A是实矩阵才成立证明:(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0所以X1是A^TAX=0的解.故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.(2)设X2是A^TAX=0的解, 则A^TAX2=0等式两边左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0所以 AX2=0. [长度为0的...
设A是m*n矩阵,x是n维向量,b是m维向量,且R(A)=r,为什么当r=m时,Ax...只能说: 当r=m时，Ax=b有解.因为此时 m=r(A)<=r(A,b)<=m 所以 r(A)=r(A,b)所以方程组有解
...题目:设A为m×n的矩阵,且r(A)等于r(A杠)=r<n,证方程组AX=_百度知 ...这样就得到了 AX=0 的n-r+1 个线性无关的解 而AX=0 的基础解系含 n-r 个向量 所以矛盾 减
设A是一次m*n矩阵,证明:R(A)=r的充分必要条件是存在秩为r的m*r矩阵B...必要性：R(A)=r等价于存在可逆阵P,Q使得A=PDQ，其中 D= I_r 0 0 0 由此可以构造出A=BC (注意，不是AB=C)充分性：考虑B和C里面的满秩rxr子阵即可
设A为m*n矩阵,且r(A)=r<n求证存在秩为n-r的n*(n-r)矩阵B,使得AB=O设未知量X为一个n*1的矩阵，即n个元素的列向量。看方程AX=0，由于像空间A(R^n)的维数是n，而r(A)=r<n，所以AX=0的解空间是(n-r)维的，从中找一组基（由(n-r)个列向量组成），以它们为列向量组成的矩阵B即符合题意。
设A为m*n矩阵,且r(A)=r<n.求证存在秩为n-r的n*(n-r)矩阵B,使得AB=O...A为m*n矩阵,且r(A)=r<n，则A一定能够通过初等列变换变成这样的m*n矩阵K 1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ...0 0 0 ... 0 就是一个m*n的矩阵，左上角有个r*r的单位阵。其他都是0 我们知道，做一次初等列变换，就是右乘一个n*n可逆阵。于是，做了很多次列...
设A是m*n矩阵,B为n×s矩阵,r(A)=r<n,且AB=0。证明:秩(B)≦n-r证:将B按列分块为 B=(b1,...,bs)因为 AB=0 所以 A(b1,...,bs)= (Ab1,...,Abs)=0 所以 Abi=0,i=1,...,s 即 B 的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解向量 所以B的列向量组可由 AX=0 的基础解系线性表示 而 AX=0 的基础解系含 n-r(A)= n-r 个向量 所以 r(B)<...
矩阵A是m*n阵,r(A)=r.证明:存在Bm*s和Cs*n,使A=BC,r(B)=r(C)=r.因为r(A)=r 所以 存在 可逆矩阵P,Q满足 P 乘 Er 0 0 0 乘 Q 令 B = P 乘 Er 0 C = Er 0 乘Q 则A=BC,r(B)=r(C)=r.
A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明X2^TA^TAX2=0 所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0 所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]所以X2是AX=0的解.故A^TAX=0的解是AX=0的解.综上知齐次线性方程组AX=0与A^TAX=O是同解方程组.所以它们的基础解系所含向量的个数相同 故有 r(A) = r(A^TA)要...