如何用满秩分解证明rank(A+B)<=rank(A)+rank(B)~
矩阵A
(A1,A2,…,An
)
假设
R(A)=s
,
一最大线性无关组为A1,A2
,…As
B
(B1,B2,…,Bn)
R(B)=t
一最大线性无关组为B1,B2,…,Bt
建立向量组
D:
A1,A2,…,An
,B1,B2,…,Bn
则
向量组
A+B
能由D
线性表示,所以R(A+B)<=R(D)
再建立向量组Q:A1,A2
,…As,B1,B2,…,Bn
则向量组
D能由
Q
线性表示,所以
R(D)<=R(Q)<=s+t
得证
矩阵A (A1,A2,…,An )
假设 R(A)=s , 一最大线性无关组为A1,A2 ,…As
B (B1,B2,…,Bn)
R(B)=t 一最大线性无关组为B1,B2,…,Bt
建立向量组 D: A1,A2,…,An ,B1,B2,…,Bn
则 向量组 A+B 能由D 线性表示,所以R(A+B)<=R(D)
再建立向量组Q:A1,A2 ,…As,B1,B2,…,Bn
则向量组 D能由 Q 线性表示,所以
R(D)<=R(Q)<=s+t
得证
其实你的问题本身就有疑问。
A=
1 0 1
0 1 1
这个矩阵的显然秩=2,第2列和第3列是他的一个极大无关组,即:a2=[0 1]^T, a3=[1 1]^T。因为a1可以由a2,a3来表示.(a1=a3-a2)
所以B=
0 1
1 1
A本身就是最简行阶梯型。
所以Cr=
1 0 1
0 1 1
那你说A=B*Cr吗?显然是不对的!
*************************************************
其实B中的极大无关组,不是随便选的,你不能说是“某个极大无关组”,而是特定的几大无关组。
B中的列向量,必须是Cr的非零首元所在的那个列的列向量!!!!
比如本题,Cr的非零首元是C11和C22,那B的选取只能是A的第一列和第二列,即
B=
1 0
0 1
这样就对了。
A的第二列和第三列虽然也是一个极大无关组,但它并又有和C中的非零首元对应上,因此就不对。
证明:矩阵A的满秩分解具体形式如下:A= 1 0 1 0 1 1 这个矩阵的显然秩=2,第2列和第3列是他的一个极大无关组,即:a2=[0 1]^T, a3=[1 1]^T。因为a1可以由a2,a3来表示.(a1=a3-a2)所以B= 0 1 1 1 A本身就是最简行阶梯型。所以Cr= 1 0 1 0 1 1 那你说A=B*Cr吗?显然是不对的!其实B中的极大无关组,不是随便选
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