1、设A为m*s矩阵，B为s*n矩阵，要使ABx=0与Bx=0为同解方程组的充分必要条件是~
方程组bx=0的解是abx=0的解，要使abx=0的解也是bx=0的解，只要方程组ax=0只有零解，即r（a）=s
解：
设B＝（B1，B2，．，Bs）
AB＝A（B1，B2，．，Bs）＝（AB1，AB2，．，ABs）＝（0，0，．，0）
ABi＝0
所以
B的列向量Bi都是AX＝0的解．
以上过程步步可逆，所以
AB＝0的充要条件是B的每个列向量均为齐次线性方程组AX＝0的解。
若a1a2．．．线性相关
则存在不全为0的数使得k1a1＋．．．＋kmam＝0
所以A（k1a1＋．．．＋kmam）＝A0＝0
所以k1Aa1＋．．．＋kmAam＝0
所以Aa1Aa2．Aam线性相关。
扩展资料
其他方法：
证明：设A＝（aij）。
取xi是第i个分量为1其余分量为0的m维行向量，i＝1，2，…，m；
取yj是第j个分量为1其余分量为0的n维列向量，j＝1，2，…，n．
则有xiAyj＝aij，i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n．
若对任意m维行向量x和n维列向量，都有xAy＝o，则必有
xiAyj＝aij＝0，i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n
故有A＝0。
证: 充分性
因为A与B的行向量组等价
所以A可经初等行变换化为B
所以存在可逆矩阵P, 使得 PA=B
易知 AX=0 的解是 PAX=0 的解.
反之, PAX=0 的解 也是 P^-1PAX=0 即 AX=0 的解
所以 AX=0 与 PAX=0 同解
即 Ax=0与Bx=0同解.
必要性
由 Ax=0与Bx=0同解
知 A,B 的行简化梯矩阵相同
即存在可逆矩阵P,Q,使得 PA=QB
所以 Q^-1PA=B
所以 A与B的行向量组等价.
因为AX=0,BX=0同解，所以AX=0,{AX=0,BX=0}同解，所以n-r(A)=n-r(A,B)(注A是m*n,B是s*n,这里A,B是(m+s)*n,不好打，所以将就下)，所以B行向量可以由A表出，同理A可由B表出。。。。。PA=B,P为可逆矩阵，AX=0,则PAX=0,所以AX=0的解为BX=0解，同理，BX=0的解也为AX=0的解
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