设A为M×N矩阵，B为N×S矩阵，若AB=O,则r(A)+r(B)≦N~
【解答】
设B=(β1，β2，...，βs）
AB = A(β1，β2，...，βs）= (Aβ1，Aβ2，...，Aβs）= （0，0，...，0）
于是 Aβj = 0 （j=1,2,...,s），即 B的列向量均是齐次线性方程组Ax=0的解。
由于方程组Ax=0解向量的秩为 n-r（A），
所以 r（B）= r (β1，β2，...，βs）≤ n-r（A）
从而有 r（A）+r（B）≤ n
【评注】
关于AB=0，应当有两个重要的思路：、
1、B的列向量是方程组Ax=0的解。
2、秩r（A）+r（B）≤ n
newmanhero 2015年3月14日22:44:20
希望对你有所帮助，望采纳。
因为AB=0，所以B的每一列向量都是AX=0的解
（1）若秩(A)=n（即列满秩），则AX=0只有零解，所以秩(B)=0，满足条件；
（2）若秩(A)<n，不妨设秩(A)=r，则AX=0的基础解系含有n-r个向量，从而秩(B)≤n-r（原因就是B的每一列向量都是AX=0的解），所以r(A)+r(B)≤n
简单计算一下，答案如图所示
最简单的证明方法是运用齐次方程组的解空间的知识:
记 B=(b1,b2,……,bs) , 由 AB=0 , 知 b1,b2,……,bs 是 Ax=0 的解
记 r(B)=r , 说明 b1,b2,……,bs 中有 r 个向量线性无关
即 Ax=0 的解空间S中至少有 r 个向量,即 dimS≥r
由解空间维度的关系: dimS=n-r(A)≥r
即 n ≥ r(A)+r = r(A)+r(B)
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