设a为n阶方阵,b为nxm的矩阵,ab=b,是a=e的充分条件~
由 AB=E 知 r(AB)=r(E)=m
所以 m = r(AB)
这里主要是要说明 r(B) = n.
如果 n>m , 则有 r(B) <= m <n
B的列向量组(有n个向量)的秩小于n, 就线性相关了!
由 AB=E 知 r(AB)=r(E)=m
所以 m = r(AB) <= r(A) <= m
m = r(AB) <= r(B) <= m
所以 r(A)=r(B)=m
所以A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关.
(C) 正确.
首先作为一般论,用 f 表示与 mxn矩阵 A 对应的,从 K^n 到 K^m 的线性映射,即
f : x ----> Ax
A 的m个行向量线性无关
当且仅当 rank(A)= "Im(f)的维数"=m
当且仅当 线性映射f是满射 (因为f的像是K^m的子空间)
另一方面, 矩阵A的n个列向量线性无关
当且仅当 使得 Ax=0 的 x 只有 0 (=K^n中的零向量)
当且仅当 f的核空间 Ker(f) = {0}
当且仅当 线性映射 f 是单射
现在,用f,g 分别表示与矩阵A,B对应的线性变换
f:K^n ---> K^m , f(x)=Ax;
g:K^m ---> K^n , g(y)=By.
AB=E 等价于说 合成的线性映射 fg 是 恒同映射(记作id或者1),于是
f 是满射 且 g 是单射 (这是来自集合论的基本结果).
所以,A 的行向量线性无关,B 的列向量线性无关.
矩阵的秩有哪些常用结论?5、r（A）＝r（A′）＝r（AA′）=r（A′A）。A表示任意矩阵，也就是m行n列，最简单的就是向量。A′表示A的转置。这是一个很好用的结论。这个结论的证明。介绍 矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A
如何理解基础解系?设A是m*n矩阵，A的秩为r(＜n)，则齐次线性方程Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为n-r，即n-r维空间。过程如下：因为矩阵A的秩为r(＜n)，那么系数矩阵A中有r个线性无关的向量，那么n个未知数就有r个独立的方程能够确定，就剩下了n-r个自由未知数，因此可以张成n维空间，基础解系中就...
线性代数的E表示什么这里只有平面镜和投影平面，没有哈哈镜和投影曲面。如果把2元的对应关系写成复数形式z=x+yi，那么f(z)就是一种投影的关系，只不过f(z)是直线方程的时候对应于一个等效的矩阵，f(z)如果不是直线方程，那么就是一种非线性变换。线形变换有许多很好的性质，能够保持信息的数量和结构保持某种程度的不...
线性代数向量 A线性无关,其解应该为零,为什么还有非零解这个问题说明你对于齐次线性方程组Ax=0解的判定学习的一知半解。首先，若矩阵A是m×n阶矩阵，Ax=0，若r(A)＜n，即A的列向量线性相关，也就是说A的列秩＜A的列数，也就是初高中时学的，方程个数比未知数少！！！也就是说假如3个未知量，只有2个方程，那么必然存在非零解。此时说的是A的...
矩阵的秩和矩阵的加法有什么样的关系?不知题主的题干是不是有问题哈，矩阵加法只有在同型矩阵的情况下才能进行，而A:mXn, B:nXn,两个矩阵显然不同型，故无法相加。线性代数有这个结论：秩(AB) ≤ min(秩(A)，秩(B)) 。证明见下图：
什么是一个矩阵的满秩分解,怎么求如果A是mxn的矩阵，rank(A)=r。可以把A分解成mxr的满秩矩阵X和rxn的满秩矩阵Y的乘积，即A=XY且rank(X)=rank(Y)=rank(A)=r，这样的分解就叫满秩分解，当然当r>0时满秩分解不唯一。一般来讲用Gauss消去法就能给出满秩分解，线性代数里面相抵标准型总会算的吧 A=P*diag{I_r,0}*Q 取P的...
线性代数小题求解 设mxn矩阵A的秩R(A)=r,则n元线性方程组Ax=0的解集...线性无关解的个数=n-r(A)解集S的秩Rs也就是解集S的极大无关组所含向量个数,也就是线性无关解的个数,所以 Rs=n-r(A)
线性代数正交性上的一个问题,急求解!!!假定A是C上的MxN矩阵,A所有的行转置共轭之后(变成M个C^N中的列向量)可以张成C^N一个线性子空间V, 即所谓的行空间 而V在C^N中有一个唯一的正交补空间: W={y: 对任何v∈V都有v^H*y=0} W就是所谓的零空间{y: Ay=0} 可以理解成W中的向量和V中的向量垂直 然后只要证明对C^N中的...
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