线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明？~
构造两个齐次线性方程组：
（1）Ax=0, (2)(AT A)x=0
如果这两个方程组同解，则两个方程组的系数矩阵有相同的秩，R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数。
这个很好理解对吧，《线性代数》的基本内容。
现在来证明它们同解：
首先，如果x1是（1）的解，那么它肯定也是（2）的解，因为将其代入（2）：
(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0
其次证明（2）的解也是（1）的解：
设x1是（2）的解，则AT A x1=0
进一步有：x1T AT A x1=0
即(Ax1)T (Ax1)=0
假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T
则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是Ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解。
于是R(A)=R(AT A)
A=
1 -1 2 1
-1 a 2 1
3 1 b -1
这样? 请在问题补充里写矩阵
解: 将第4列交换到第1列, 这样容易处理
1 1 -1 2
1 -1 a 2
-1 3 1 b
r2-r1,r3+1
1 1 -1 2
0 -2 a+1 0
0 4 0 b+2
r3+2r2
1 1 -1 2
0 -2 a+1 0
0 0 2(a+1) b+2
因为r(A)=2, 所以 a=-1, b=-2
A=
1 1 1
1 1 2
a+1 2 3
是吧.
解: 将第1列交换到第3列
1 1 1
1 2 1
2 3 a+1
r3-r1-r2,r2-r1
1 1 1
0 1 0
0 0 a-1
所以,a=1时r(A)=2,a≠1时r(A)=3.
【线性代数】矩阵A={1 1 1,1 2 1,1 1 3},矩阵X满足AX+2E=A^2+X,求...解: 因为 AX+2E=A^2+X 所以 (A-E)X = A^2-2E (A-E, A^2-2E) = 1 1 1 1 4 5 1 2 1 4 4 6 1 1 3 5 6 9 r2-r1,r3-r1 1 1 1 1 4 5 0 1 0 3 0 1 0 0 2 4 2 4 r1-r2, r3*(1\/2)1 0 1 -2 4 4 0 1 0 3
线性代数 设矩阵A=(1,2;3,x)与矩阵B=(2,3;4,y)相似 则x= y=_百度知 ...矩阵相似有相同的行列式和相同的迹,则 x-6=2y-12 1+x=2+y 联立解得 x=8, y=7
线性代数 已知矩阵 1 1 0 A=1 0 -1 -2 -2 -1 且AB=A+线性代数已知矩阵110A=10-1-2-2-1且AB=A+2B,求B... 线性代数已知矩阵 1 1 0A=1 0 -1 -2 -2 -1且AB=A+2B,求B 展开 我来答 你的回答被采纳后将获得: 系统奖励15(财富值+成长值)+难题奖励10(财富值+成长值)+提问者悬赏20(财富值+成长值) 1个回答 #热议# 武大靖在冬奥的表现,怎么...
线性代数:在求r(a)=1时的特征值的时候,其汇总的一个特征值是对角线的...这里用到一个结论: 矩阵A的所有特征值的和 = A的迹 (即A的主对角线的数的和)由r(A) = 1, 所以 0 是 A的 n-1 重特征值, 所以A只有一个非零特征值 所以 "其汇总的一个特征值" = A的所有特征值的和 = A的主对角线的数的和.这是由A的特征多项式确定的.经过初等变换之后得到的矩阵...
帮忙解答线性代数问题!这样就知道了A肯定相似于对角阵D，D对角线上的四个元素是0,0,-2,-2.取B中两个线性无关列，再取C中两个线性无关列，这四个列拼成一个可逆矩阵P，那么 inv(P)*A*P=D（inv(P)表示P的逆矩阵）所以A=P*D*inv(P)第一问：|E+A| =|E+P*D*inv(P)| =|P*E*inv(P)+P*D*inv(P...
线性代数已知矩阵A,矩阵p逆Ap等于一矩阵,求P首先det(sE-A)=(s-1)(s-2)(s-5)可以求出a，齐次，利用 (sE-A)x =0求出对特征值s的特征向量Xs, s=1,2,5 然后P=(X1,X2,X5)求
线性代数求:已知a=(1,2,3) b=(1,1\/2,1\/3) A=a^T乘以b 求A^n^^以'代表转置，则A=a'b，所以A^2=(a'b)(a'b)=a'(ba')b，ba'=3，所以A^2=3(a'b)=3A。所以A^3=3A^2=3^2A，递推可得A^n=3^(n-1)A= 3^(n-1) 3^(n-1)\/2 3^(n-2)2*3^(n-1) 3^(n-1) 2*3^(n-2)3^n 3^n\/2 3^(n-1)例如：解:CB' = 1*1+2*...
求线性代数 图中题目 根据秩=1,怎么求出矩阵的n次幂?为什么是6^n-1...具体到题目中的矩阵A=(3,1)^T(1,3)，我们可以通过直接计算得出A的幂次。A的幂次运算可以表示为：A^n=(3,1)^T[(1,3)(3,1)^T]^(n-1)(1,3)。通过进一步简化，可以得到A^n的最终表达式为[6^(n-1)]A。线性代数是研究线性关系的数学分支，它广泛应用于工程、物理、计算机科学等多个...
线性代数,已知矩阵A,求A^n 详细如图简单计算一下即可，答案如图所示 设
线性代数,已知矩阵A=增广矩阵 [2, 1, -2, 1, 0, 0][-1, -1, 2, 0, 1, 0][ 3, 1, 3, 0, 0, 1] = [第1行加上第2行的2倍，第3行加上第2行的3倍][ 0, -1, 2, 1, 2, 0][-1, -1, 2, 0, 1, 0][ 0, -2, 9, 0, 3, 1] = [第1行，第2行都乘上-1。