黎曼函数在任何一点处极限均为0，怎么证明

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黎曼函数在任何一点处极限均为0的证明如下：

对于x0∈的情况：

1. 分析黎曼函数的值：

   • 当x为无理数或0、1时，r=0。
   • 当x为内的有理数时，r=1/q，其中p/q为既约真分数。

2. 确定大于等于ε的点：

   • 对于任意给定的正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点。
   • 由于黎曼函数的正数值都是1/q的形式，且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，因此这些点是有限的。

3. 构造去心邻域：

   • 设这些点与x0的最小距离为δ。
   • 则在x0的半径为δ的去心邻域中，所有点的函数值均在[0,ε)中。

4. 得出结论：

   • 根据极限的定义，黎曼函数在x>x0时的极限为0。

对于x=0的情况：

• 证明过程与x0∈时完全相同，只需考虑x趋近于0时的极限情况。
• 由于在x=0的任意小邻域内，除了x=0本身以外，其他点的函数值要么为0，要么为小于任意给定正数ε的某个1/q。
• 因此，黎曼函数在x>0时的极限也为0。

综上所述，黎曼函数在任何一点处的极限均为0。

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可以证明，对于任意给定的x0∈[0,1]，当自变量x趋近于x0时，函数值R(x)会趋近于0（这里的证明过程较为复杂，通常涉及数学分析中的ε-δ语言或数列极限等概念）。因此，黎曼函数在定义域上的每一点处极限都存在且等于0。连续性 答案：黎曼函数在定义域上的无理数点处连续，在有理数点处不连续。解释：由于黎曼函数在定义域上的

黎曼函数性质

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黎曼函数 证明连续性

因为黎曼函数的正数值都是1\/q的形式，且对每个q，函数值等于1\/q的点都是有限的。所以除X以外所有函数值大于等于w的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与X的最小距离为w ，则X 的半径为w的去心邻域中所有点函数值均在（0，w）中，从而黎曼函数在 时的极限为0。

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