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Galois Theory（伽罗瓦理论）基础部分主要围绕域扩张、代数元素与超越元素、不可约多项式及有限生成域等核心概念展开，以下是对相关内容的详细阐述：
域扩张的基本概念
用K/F表示域K是域F的一个扩充，即F?K，F称作基域，K可看作F线性空间，其维数写作[K:F]（度）。若[K:F]是有限的，则称这是一个有限扩张。例如，有理数域?的所有有限域扩张叫做代数数域；?/?， /?是无限扩张；假设有
，那么这个扩张的度是2； ，在?上是不可逆的， 是极大理想，K=?[t]/p(t)是一个域，明显?∈K（?同构于(?+p(t))）并且这个扩张的度数为3。代数元素与超越元素
如果α∈K，并且存在一个首一多项式
，α是多项式的根，那么称α在F上是代数的，反之称其为超越的。一个元素是否超越取决于考察的域，例如 在?上的不可约多项式是 ，在?(i)上是 。考虑同态
，如果这个同态是单射，那么α就是超越的，因为Kerφ = {0}。不可约多项式
假设α在F上是代数的，F[x]是主理想整环，于是同态的核一定是主理想环，由唯一的首一多项式f(x)生成。满足下列任意一条的就叫做关于α在F上不可约多项式，记这个多项式叫做min(F,α)：
f是以α为根的多项式里面次数最小的。
f是F[x]中不可约元素，α是它的根。
f系数都属于F，且α是f的根，由f生成的F[x]的主理想是极大理想。
α是f的根，对任意g含有α作为根，f整除g。
α在F上的不可约多项式的次数叫做α在F上的次数。一个多项式是否不可约取决于域F和元素α。
子域的生成
K是F的一个域扩充，α是K的一个元素，α生成的K的子域为F(α)，这是包含F和α的最小的K的子域。同样可以定义
。利用同态φ，可以得到F[α]。F(α)同构于F[α]的代数分式（即
形式）。同样有 ，并且知道 同构于它的代数分式。有限生成域
K/F，X是K的子集，由F和X生成的环F[X]，是所有包含K和X的K的子环的交；由F和X生成的群F(X)，是所有包含K和X的K的子域的交。如X有限，这个就叫做F的有限生成域。
以X只有一个元素为例，上面的F[X]就是F[α]，F(x) = F(α)。考虑赋值同态φ，其像肯定是子环，那么对于任意子环R包含F和X，所有这样的f(α)∈R，所以F[X]就是F[α]。同样，
肯定包含在所有包含F和X的域之中，前者是环，后者是域，正是求的F[X]，F(X)。对于多元的情况也是类似的。如果α是超越的，那么F[x]→F[α]是同构的，那么F(α)同构于F(x)。
代数扩张相关命题
在α是代数的时候，设K/F，α∈K，α在F上是代数的，f是对应的不可约多项式，有如下命题：
是一个同构，F[α]是一个域，于是F[α] = F(α)。证明：f是对应的不可约多项式，那么(f)是极大理想，且是这个同态的Ker，同构于Imφ，即F[α]。由于Im是一个域，于是F[α]是一个域，其包含自身，于是是包含自己的最小的域，得证。g(x)∈F[x]，g(α)=0当且仅当min(F,α)|g。证明：p = min(F,α)，g(α)=0，Kerφ = (p(x))。
n = deg(min(F,α))，那么1,…,
形成了F(α)在F上的一组基。[F(α):F] = deg(min(F,α))。证明：这实际上就是1。代数扩张的定义
如果K/F，K中的元素在F上都是代数的，那么称这是一个代数扩张。
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